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gamma分布密度函數(shù)介紹（Gamma函數(shù)可視化什么意思）-環(huán)球速看

2023-04-11 16:35:46 來(lái)源:百科網(wǎng)

1. Gamma 分布

(資料圖)

1.1 首先要了解一下Gamma 函數(shù)。

Gamma 函數(shù)在實(shí)數(shù)域可以表示為：

Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t \Gamma(x)=\int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dtΓ(x)=∫0∞?tx−1e−tdt;

在整數(shù)域可以表示為：

Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n)=(n-1)!Γ(n)=(n−1)!。

此外，Gamma 函數(shù)具有如下性質(zhì)：

Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)Γ(x+1)=xΓ(x)

Γ ( x + 1 ) = x ! \Gamma(x+1)=x!Γ(x+1)=x!

Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1Γ(1)=1

Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}Γ(21?)=πundefined?

Γ \GammaΓ函數(shù)是階乘在實(shí)數(shù)上的推廣。

1.2 Gamma函數(shù)可視化

"""

Beta 分布

@date 2019-05-09

@author wangxianpeng

"""

import numpy as np

from scipy.special import gamma

import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure(figsize=(12,8))

# Gamma函數(shù)(Gamma function)

x = np.linspace(-1, 10, 1000)

plt.plot(x, gamma(x), ls='-', c='k', label='$\Gamma(x)$')

# (x-1)! for x = 1, 2, ..., 6

x2 = np.linspace(1,6,6)

y2 = np.array([1, 1, 2, 6, 24, 120])

plt.plot(x2, y2, marker='*', markersize=12, markeredgecolor='r',

markerfacecolor='r', ls='',c='r', label='$(x-1)!$')

plt.title('Gamma Function')

plt.ylim(0,25)

plt.xlim(0, 6)

plt.xlabel('$x$')

plt.ylabel('$\Gamma(x)$')

plt.legend()

plt.show()

結(jié)果顯示如下：

當(dāng)然這里只取了大于0的部分。

1.3 Gamma 分布

對(duì)Gamma函數(shù)做個(gè)變形，可以得到如下式子：∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t Γ ( α ) = 1 ? ( 1.3.1 ) \int_0^{\infty} \frac{t^{\alpha-1}e^{-t}dt}{\Gamma(\alpha)}=1 \: (1.3.1)∫0∞?Γ(α)tα−1e−tdt?=1(1.3.1)

取等式左邊積分中的函數(shù)作為概率密度，就得到一個(gè)簡(jiǎn)單的Gamma分布的密度函數(shù)：G a m m a ( t ∣ α ) = t α − 1 e − t Γ ( α ) Gamma(t|\alpha)=\frac{t^{\alpha-1}e^{-t}}{\Gamma(\alpha)}Gamma(t∣α)=Γ(α)tα−1e−t?

如果做一個(gè)變換t = β x t=\beta xt=βx，代入(1.3.1)式中，可得∫ 0 ∞ ( β x ) α − 1 e − β x d ( β x ) Γ ( α ) = 1 \int_0^{\infty} \frac{(\beta x)^{\alpha-1}e^{-\beta x}d(\beta x)}{\Gamma(\alpha)}=1∫0∞?Γ(α)(βx)α−1e−βxd(βx)?=1。

于是就得到Gamma分布的更一般形式：

G a m m a ( x ∣ α , β ) = β x α − 1 e − β x Γ ( α ) Gamma(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}Gamma(x∣α,β)=Γ(α)βxα−1e−βx?

其中， α 為Gamma分布的 shape parameter，主要決定了曲線的形狀;而 β為Gamma分布的 rate parameter 或者 inverse scale parameter，主要決定了曲線有多陡。Gamma分布的歸一化常數(shù)(使得Gamma值為1的點(diǎn))恰為Γ \GammaΓ函數(shù)在點(diǎn) α 處的值Γ ( α ) \Gamma(\alpha)Γ(α)。

Gamma分布的期望E = α β E=\frac{\alpha}{\beta}E=βα?、方差D = α β 2 D=\frac{\alpha}{\beta^2}D=β2α?。

下面看一下不同參數(shù)α , β \alpha,\betaα,β情況下的Gamma分布：

import numpy as np

from scipy.stats import gamma

from matplotlib import pyplot as plt

# Gamma分布(Gamma Distribution)

alpha_values = [1, 2, 3, 3, 3]

beta_values = [0.5, 0.5, 0.5, 1, 2]

color = ['b','r','g','y','m']

x = np.linspace(1E-6, 10, 1000)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))

for k, t, c in zip(alpha_values, beta_values, color):

dist = gamma(k, 0, t)

plt.plot(x, dist.pdf(x), c=c, label=r'$\alpha=%.1f,\beta=%.1f$' % (k, t))

plt.xlim(0, 10)

plt.ylim(0, 2)

plt.xlabel('$x$')

plt.ylabel(r'$p(x|\alpha,\beta)$')

plt.title('Gamma Distribution')

plt.legend(loc=0)

plt.show()

顯示結(jié)果如下：

同時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)Gamma分布的概率密度和Poisson分布在數(shù)學(xué)上的形式具有高度的一致性。參數(shù)λ \lambdaλ的Poisson分布，概率為：P o s s i o n ( x = k ∣ λ ) = λ k k ! e − λ Possion(x=k|\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}Possion(x=k∣λ)=k!λk?e−λ。

而在Gamma分布的密度函數(shù)中取α = k + 1 , β = 1 \alpha=k+1,\beta = 1α=k+1,β=1，可以得到：G a m m a ( x ∣ α = k + 1 , β = 1 ) = x k e − x k ! Gamma(x|\alpha=k+1,\beta=1)=\frac{x^ke^{-x}}{k!}Gamma(x∣α=k+1,β=1)=k!xke−x?。

可以看到這兩個(gè)分布在數(shù)學(xué)形式上是一致的，只是Poisson分布式離散的，Gamma分布式連續(xù)的，可以直觀認(rèn)為，Gamma分布式是Poisson分布在正實(shí)數(shù)集上連續(xù)化版本。

2. Beta 分布

2.1 首先要了解一下Beta 函數(shù)。

Beta 函數(shù)的定義：B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\ dxB(α,β)=∫01?xα−1(1−x)β−1dx，其中α , β > 0 α,β>0α,β>0。

Beta函數(shù)性質(zhì)：

對(duì)稱性：B ( α , β ) = B ( β , α ) \Beta(\alpha,\beta)=\Beta(\beta,\alpha)B(α,β)=B(β,α)

與Γ函數(shù)的關(guān)系：B ( α , β ) = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) \Beta(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}B(α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)?，其中 α,β>0

2.2 Beta分布

對(duì)Beta函數(shù)做個(gè)變形，可以得到如下式子：∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) d x = 1 \int_{0}^{1}\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}dx=1∫01?B(α,β)xα−1(1−x)β−1?dx=1

取等式左邊積分中的函數(shù)作為概率密度，就得到了Beta分布的密度函數(shù)：B e t a ( x ∣ α , β ) = x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) Beta(x|\alpha,\beta)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}Beta(x∣α,β)=B(α,β)xα−1(1−x)β−1?。

可以發(fā)現(xiàn)Beta分布的歸一化常數(shù)(使得Beta值為1的點(diǎn))恰為Beta函數(shù)在 (α,β) 處的值。

Beta 分布的期望E = α α + β E=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}E=α+βα?、方差D = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) D=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}D=(α+β)2(α+β+1)αβ?。

下面看一下不同參數(shù)α , β \alpha,\betaα,β情況下的Beta分布：

# Beta 分布(Beta distribution)

import numpy as np

from scipy.stats import beta

from matplotlib import pyplot as plt

alpha_values = [1/3,2/3,1,1,2,2,4,10,20]

beta_values = [1,2/3,3,1,1,6,4,30,20]

colors = ['tab:blue', 'tab:orange', 'tab:green', 'tab:red', 'tab:purple',

'tab:brown', 'tab:pink', 'tab:gray', 'tab:olive']

x = np.linspace(0, 1, 1002)[1:-1]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(14,9))

for a, b, c in zip(alpha_values, beta_values, colors):

dist = beta(a, b)

plt.plot(x, dist.pdf(x), c=c,label=r'$\alpha=%.1f,\ \beta=%.1f$' % (a, b))

plt.xlim(0, 1)

plt.ylim(0, 6)

plt.xlabel('$x$')

plt.ylabel(r'$p(x|\alpha,\beta)$')

plt.title('Beta Distribution')

ax.annotate('Beta(1/3,1)', xy=(0.014, 5), xytext=(0.04, 5.2),